Kurt Gödel

Doğumunun 100. yılında  bir matematik filozofu olarak: KURT GÖDEL Bekir S. Gür Utah State University Doktora Öğrencisi 21. yüzyıldaki hiçbir matematik teoremi, Gödel’in eksiklik teoremleri kadar, matematikçilerin yanında matematikçi olmayanların da ilgisini çekmemiştir. Eksiklik teoremlerinin bu kadar tartışılması, kuşkusuz, Gödel’in sonuçlarının derinliğine ve basit olarak ifade edilebilmelerine bağlıdır. 1931’de yayımlanan bu çalışmalar o kadar ünlüdür ki, Gödel’in bu tarihten sonra yaptığı çalışmalar, 1931’in gölgesinde kalmıştır denebilir. Gödel’in matematik felsefesi ile matematiksel çalışmalarının arasındaki ilişkilerin iyi bilindiğini söylemek zordur. Gödel, 1940’lı yıllarda seçim aksiyomu ve süreklilik hipotezi üzerine çalışmalarını yapar, bir süre fizikle ilgilenir ve zamanla, ciddi anlamda felsefeye yönelir. 1944’de yayımladığı “Russell’ın matematiksel mantığı”, Gödel’in felsefeye dönüşünü işaret eder. Fizik konusunda, Einstein’ın kozmoloji kuramları ve zamanda yolculuk üzerine incelemeler yapar. 1958’den sonra, eski çalışmalarını yeniden gözden geçirmekle ve felsefeyle meşgul olur. Gödel, çok eskiden beri sürdürdüğü Kant ve Leibniz incelemelerine devam eder ve özellikle 1959’dan sonra Husserl’in felsefesine yoğunlaşır. Bu yazıda, Gödel’in matematiksel mantık çalışmalarından çok, felsefi yönleri ve matematik felsefesi incelemelerine yoğunlaşacağım. Yazının ilk kısmında, Gödel’in hayatına kısaca değineceğim. Daha sonra, Gödel’in eksiklik teoremleri, Platonculuk, süreklilik hipotezi ve aksiyomatik sistem hakkındaki felsefi görüşlerine eğileceğim. Son olarak, Gödel’in Husserl ile ilişkisinden ve Wittgenstein’ın Gödel eleştirilerinden söz ederek bitireceğim. Hayatı ve çalışmaları Kurt Gödel, 28 Nisan 1906 tarihinde, Avusturya-Macaristan Imparatorluğu’nun Brünn (şimdiki Çek Cumhuriyeti’nde Brno) Şehri’nde doğmuştur (1). Gödel küçük yaşta her şeyi sorguladığı için ailesinde Ren Warum (Bay Niçin) olarak isimlendirilmiştir. Sık sık iddia edilenin aksine, Yahudi kö kenli değildir. “Eski” bir Katolik olan babasının değil annesinin inancı izlenerek, Alman Lutheran Kilisesi’nde vaftiz edilmiştir. Gödel’in yaşamı bo yunca hiçbir dini cemaatle ilgisi olmamıştır. Buna rağmen, Gödel, kendisini inanan biri olarak tanıtır; panteist değil teisttir, kendi ifadesiyle, “Spinoza’yı değil, Leibniz’i izler”. Gödel 1924’de Viyana Üniversitesi’ne geldiği zaman fizik çalışma düşüncesi vardı. Philip Furtwangler’den aldığı matematik dersleri ile H. Gomperz’den aldığı felsefe tarihi derslerinden etkilendi. Felsefi bir düşünce olarak Platonculuk ile bu derste tanıştı. 1926’da matematik bölümüne geçti. Muhtemelen 1925’de, M. Schlick’in matematik felsefesi üzerine seminerine katıldı; bu seminerde Russell’ın Matematiksel Felsefeye Giriş adlı eserini incelenmekteydi. 1926’da, hocası Hans Hahn’ın yönlendirmesiyle Viyana Çevresi’nin toplantılarına katılmaya başladı. Bu çevrenin amacı, bilgiyi mantıksal ve deneysel yollarla incelemek, felsefeyi bilimsel kılmak ve metafiziği reddetmekti. Toplantılarda sessiz bir katılımcı olan Gödel, bu çevrenin görüşleriyle hiç bir zaman uyuşmadı ve zamanla onlardan uzaklaştı. Yine de, o çevrenin ileri gelenlerinden Carnap gibi kişilerle şahsi dostluğunu sürdürdü. Gödel, 1928’den itibaren matematiksel mantık üzerine yoğunlaşmaya başladı. Brouwer’ın 1928’de Viyana’da yaptığı konuşmaları dinlemiş ve bu konuşmalardan etkilenmiştir. Gödel’in sonraki çalışmalarını etkileyen bir başka konu, Carnap’ın 1928-1929 yıllarında Viyana Üniversitesi’nde “Aritmetiğin Felsefi Temelleri” adı altında metamantık üzerine verdiği dersler olmuştur. Gödel, Carnap’ın dersinde, Russell ve Hilbert’in çalışmalarını okumuştur. Gödel’e bu dönemde etki eden bir başka nokta, Hilbert’in 1928’de Uluslararası Matematikçiler Kongresi’nde yaptığı ve 1929’da basılan konuşmasıdır. Gödel 1929’da, Hilbert’in çalışmalarının devamı olarak, eksiksizlik üzerine doktora tezini sunar. Bu tez sayesinde, Viyana Üniversitesi’nde matematik alanında doktorasını 1930’da tamamlar. Gödel, Hilbert’in çalışmalarını devam ettirirken, kendisini dünyaca ünlü kılacak beklenmedik bir sonuç keşfeder. Eksiklik teoremi olarak bilinecek bu keşfi 193l’de basılır. Gödel’in daha sonra ifade edeceği gibi, bu eksiklik sonucu, aslında Skolem’in 1922’de yaptığı çalışmaların “bayağı” bir sonucudur; fakat o devrin epistemolojik ve felsefi “önyargıları”, Skolem ve Hilbert ile birlikte diğer matematikçilerin bu sonucu görmesini engellemiştir. Gödel kendi Platonculuğu ile eksiklik teoreminin ilişkili olduğunu iddia etmiştir. Gödel eksiklik çalışmasını daha sonra Viyana Üniversitesi’ne sunar ve “Privatdozent” olarak ders verme hakkı kazanır. 1940’ta Amerika’ya göç edinceye kadar, orada az sayıda olsa da ders verir ve bu süre zarfında üç defa Amerika’ya ziyaretler yapar. Bu ziyaretlerin ilkinden sonra Avrupa’ya dönünce sinir krizi geçirir ve sanatoryuma yatırılır. Sağlık sorunlarından dolayı, Princeton’daki Institute of Advanced Studies’in (IAS) davetini ertelemek zorunda kalır. 1935’in Ekim ayında IAS’e gider, ama bir ay sonra depresyon ve fazla çalışmadan dolayı istifa eder. Sana toryuma geri döner ve orada bir süre daha geçirir. Viyana’daki derslerine ancak. 1937’nin baharında başlar. 1938’de Adele ile evlenir. Ailesinin bu evliliğe Adele’nin daha önce evlenip boşanmış olması ve dansöz olması yüzünden karşı çıkması ne deniyle, Kurt ve Adele evliliği uzun süre beklemek durumunda kalmışlardır. Gödel, evlendikten kısa bir süre sonra Amerika’ya gittiği için, evliliklerinin ilk yılında eşiyle ayrı yaşar. Avusturya’nın Nazi Almanyası’na katılması, özellikle Yahudi kökenli olan entelektüellerin Viyana’yı terk etmeleri ile sonuçlanır. Gödel apolitiktir ve dünyada olup bitenlerden çok kendi çalışmaları ile ilgilenmektedir. Fakat Gödel zayıf bir bedeni olduğunu düşündüğü halde, askere alınmak için uygun bulunur. Ayrıca, üniversitedeki işinin devam etmesi için, yeni Nazi yönetimine başvurması gerekmektedir. Muhtemelen askere çağrılacak olan ve iş durumu belirsizlikler taşıyan Gödel, eşiyle birlikte 1940’da Amerika’ya göç eder ve hayatı boyunca bir daha Avrupa’ya dönmez. Gödel, altı veya yedi yaşında iken, ateşli romatizma geçirmiştir; her ne kadar hastalıktan tam olarak kurtulsa da, hastalık sonucu daimi kalp rahatsızlığı olduğuna inanır. Hayatı boyunca sağlık sorunlarıyla boğuşur; doktorlara danışır fakat onların tavsiyelerine güvenmez. 1940’larda ülserden dolayı ameliyat olması gerekir, fakat o sürekli geciktirir bunu, sonunda kan nakli yapılarak hayati tehlikeyi atlatması sağlanır. Hayatının son 10 yılında, Gödel’in eşi iki defa kalp krizi geçirir ve bakımevine konur. Eşi bakımevine konduktan sonra Gödel’de depresyon ve paranoya belirtileri görülür. Yemeklerine zehir konabileceğini düşündüğü için, kendini açlığa mahkum eder. Sonunda hastanelik olur ve hastanede kısa bir süre sonra, resmi ölüm belgesindeki kayıtlara göre, “kötü beslenme ve gıdasızlıktan kaynaklanan zayıflık”tan 14 Ocak 1978 tarihinde ölür. Eksiklik teoremleri 19. yüzyılın sonunda ve 20. yüzyılın başında, küme kuramında paradoksların ortaya çıkması üzerine, matematikçiler ciddi kaygılar duymaya başlamışlardı. Devrin öncü matematikçisi David Hilbert (2004) paradoksiarla karşı karşıya kalmanın getirdiği krizin tahammül edilemez olduğunu düşünüyordu: “Bir düşünün herkesin öğrendiği, öğrettiği, gerçekliğin ve kesinliğin mükemmel örneği olan matematiğin kullandığı tanımlar ve tümdengelim yöntemleri saçmalıklara yol açıyor. Eğer matematiksel düşünce kusurlu ise biz kesinliği ve gerçekliği nerede bulacağız?” (s.128). Hilbert, matematikte bilinemeyecek diye bir şey olmadığını göstermek ve matematiği çelişkilerden kurtarmak amacındaydı. Bu amaçla, metamatematik olarak adlandırılan yeni bir alan ortaya attı. Metamatematik, matematiğin yöntemlerini matematiğin kendisine uyguluyordu. Buna göre, matematiğin önermeleri sembollerin toplamı olarak ve çıkarım yöntemleri ise sembolleri maniple etmeye yarayan bir tür mekanik kurallar olarak sunuldu. Gödel kendi eksiklik teoremlerini Hilbert’in metamatematik tekniklerini kullanarak ortaya koyacaktı. Gödel elde ettiği sonucu, 1930’da Könisberg’deki bir konferanstaki konuşmasında ilk defa şöyle duyurmuştur: “Principia mathematica yardımıyla ifade edilebilen öyle matematiksel problemler vardır ki, Peincipia mathematica’daki mantıksal araçlarla çözülemezler. […] Bu gerçek şöyle de ifade edilebilir:“Principia mathematica üstyapı olarak eklenmek üzere Peano aksiyom sistemi, sözdizimsel (syntactically) olarak eksiktir” (Gödel, 1930: s.29). Bu sonucu şöyle de ifade edebiliriz: Belirli bir miktarda aritmetiğin uygulanabildiği herhangi bir tutarlı formel (biçimsel) sistem eksiktir;  yani tutarlı bir sistem içerisinde öyle temel bir aritmetiksel önerme ortaya konabilir ki, ne bu önerme ne de bu önermenin olumsuzu bu sistem içerisinde ispatlanabilir. Bu sonuçtaki eksiklikten kasıt karar verilemezliktir; tutarlı bir sistemin aksiyomlarıyla - bir ifadenin karar verilemez veya çözümsüz olması o sistemi eksik kılar. Bu sonuçta felsefi açıdan ilginç husus, Gödel’in Hilbert’i izleyerek,  doğruluk/hakikat yerine ispat nosyonunu ikame etmesi ve bu ikamenin sınırlılığına işaret etmesidir. Yani, eldeki formel sistem tutarlı olmak üzere, bu sistem içerisinde öyle doğru ifadeler elde ederiz ki, bunların ispatı verilemez. İlerde de göreceğimiz üzere, Gödel’i hayatı boyunca felsefi olarak meşgul edecek- konulardan biri, matematiksel doğruluk/hakikat ile formel sistemlerdeki ispat arasındaki gerilimdir. Şimdiye kadar ifade ettiğimiz sonuç, birinci eksiklik teoremi olarak bilinir. Gödel’in elde ettiği ikinci eksiklik teoremine göre, Principia mathematica ve Peano aksiyom sistemi ile elde edilen bir sistemin tutarlılık ispatı sistem içerisinde formel olarak verilemez (Gödel, 1931). Bura da formellikten kasıt Hilbertçi tarzdır. Aslında ikinci teorem, birinci teoremin bir sonucudur. Şöyle ki: Karar verilemez aritmetiksel önermelerin olduğu eksik bir sistemde, o sistemin tutarlılığına ilişkin bir önerme sözü geçen karar verilemez önermelerden biridir. Yani eldeki sistemin tutarlılığına ilişkin bir ispat öyle mantıksal çıkarım yollarıyla elde edilebilir ki bu yollar o sistem içerisinde formelleştirilemezler (2). Gödel, o matematiksel hakikatlerin bizden bağımsız olarak var olduğunu ve kendi eksiklik teoremine de bu düşüncesi yardımıyla vardığını iddia ediyordu. Mevcut formel; matematiksel sistemlerimiz eksiktir çünkü matematiksel hakikat bu sistemlerin elde edebildiğind çok daha- geniştir. Şimdi, Gödel’in matematik hakkındaki felsefi görüşlerini ayrıntılı olarak açık lamaya çalışalım. Gödel Platonculuğu/ Realizmi Gödel, ilk geniş felsefi değerlendirmesi olan, 1944’de yazdığı “Russell’ın matematiksel mantığı” başlıklı ünlü yazısında, Platonculuğu veya realizmi açıkça savunur. Bu görüşe göre, mantık ve matematiğin nesneleri gerçek nesneler gibi “kavranabilirler”, yani bizim “tanımlanmız ve inşalarımızdan bağımsız olarak vardırlar” (Gödel, 1944: s.128). Gödel’e göre, matematiksel nesnelerin varlığını kabul etme, fiziksel nesnelerin varlığını kabul etme kadar “meşru”dur. Gödel’in Platoncu/realist görüşlerini Russell üzerine bir değerlendirme yazısında ifade etmesi, elbette bir tesadüf değildi. Gödel’e göre, Russell zamanla görüşlerini yumuşatmış olsa da, realist görüşlere sahipti. Gödel yazısında Russell’ın ünlü bir ifadesini alıntılar: “Her ne kadar daha soyut ve genel özelliklerle olsa da mantık, zooloji kadar gerçek dünya ile ilgilenir” (s.120). Russell’a göre, fiziğin kanunları ile “duyu algıları” arasındaki ilişki gibi, matematiğin aksiyomları ile mantıksal kanıtlar arasında bir ilişki vardır. Doğa kanunları, bir başlarına besbelli/sarih olmayabilirler fakat duyu algılarının ortaya çıkmasını - veya anlaşılmasını sağlarlar. Benzer şekilde, matematiğin aksiyomları bir başlarına besbelli/sarih olmayabilirler fakat sonuçlan itibariyle gerekçelendirilebilirler. Gödel, kimi matematiksel problemlerin uzun yıllardır çözülemediği olgusunu aksiyomların yetersizliğine bağlar; yani farklı aksiyomlar bulunursa, bu sorular muhtemelen çözülecektir (s.121). Gödel,bunu ifade etmekle, matematiğin “mutlak kesinlik” özelliğinin sarsılmış olacağının farkındadır; zaten bu sarsılmanın, temeller krizi ile büyük ölçüde gerçekleştiğini ifade eder. Birazdan genişçe ele alacağımız gibi, Gödel, burada Russell üzerinden dolaylı olarak ifade ettiği, özellikle birbiriyle ilgili şu iki görüşünü ilerleyen yıllarda geliştirecektir: 1) Matematiğin gerekçelendirilmesi fiziğin gerekçelendirilmesine benzer. 2) Aksiyomlar bir başlarına besbelli/sarih olmadıkları için, sonuçlarına bakılarak, aksiyomlar hakkında fikir yürütülebilir. Bu görüşlerden birincisini Godel ile Husserl arasındaki ilişkiyi incelerken ayrıntılı ele alacağım. Gödel bu görüşlerden ikincisini Cantor’un Sureklılık Hıpotezi Nedir? başlıklı yazısında genişçe ele alır Gödel’ in küme kuramı ve modem aksiyomatik sistemler üzerine felsefi görüşlerinin yayımlandığı muhtemelen en özlü incelemesi olan bu yazıya değinelim Süreklilik Hipotezi ve Gödel Hatırlatmak gerekirse Cantor’un ortaya attığı süreklilik hipotezine göre, doğal sayıların kümesinden büyük, reel sayıların kümesinden küçük, arada bir sonsuz küme yoktur(3). Matematikçileri ortaya atıldığı günden beri uğraştıran bu hipotez, Hilbert’in 1900’de Paris’te düzenlenen Uluslararası Matematikçiler Sempozyumu’nda sunduğu meşhur 23 problemden birincisi olarak tarihteki yerini almıştır. Sorunun matematiksel olarak bir türlü çözülememesi, Gödel’in dikkatini küme kuramı: ve aksiyomatik yöntem hakkında felsefi bir analize yöneltmiştir. Gödel, 1947’de “Cantor’un Süreklilik Hipotezi Nedir?” adlı makalesinde konuyu matematiksel ve felsefi olarak inceler; ayrıca 1963’de söz konusu makaleye önemli bazı eklemeler yapar ve makale 1964’de basılır. Süreklilik hipotezinin matematiksel olarak çürütülemeyeceğinin ispatı daha önce bizzat :Gödel tarafından verilmişti Gödel, makalesinde hipotez için üç ihtimal bulunduğunu belirtir: Hipotez, (aksiyomların tutarlı olduğu kabul edilerek) doğrulanabilir, çürütülebilir ya da karar-verilemezdir. Godel hipotezin matematiksel olarak karar-verilemez olduğunu öngörür. Gödel’in 1963’de ifade ettiği bu öngörüsü, makalesinin 1964’de yayımlanmasından önce doğrulanmıştır. 1963’de Paul Cohen hipotezin kanıtlanamayacağını göstermiştir. Sonuçta, Cantor’un ortaya attığı süreklilik hipotezi, bildiğimiz küme kuramının aksiyomları ile ne yanlışlanabilir ne de doğrulanabilir. Teknik olarak ifade edersek süreklilik hipotezi küme kuramının bildik aksiyomlarından bağımsızdır. Hipotezın karar verilemez olması anlamsız olduğu anlamına mı gelir? Gödel matematiksel ve epistemolojık nedenlerden dolayı hipotezin anlamını yitirdiği iddialarına karşı çıkar. Dikkate alınan aksiyomların sistemi hipotetik-tümdengelimsel bir sistem olarak yorumlanırsa […] karar verilemezliğin bir kanıtıyla sorunun anlamını yitirdiği söylenebilir” der Gödel (2004, s 235) Dolayısıyla hipotetik-tümdengelimsel olan aksiyomatik bir sistem içinde bir sorunun karar-verilemez oluşu, o sorunun sadece eldeki aksiyomatik sistemde anlamsız olduğu sonucunu verir denebilir; fakat bu o sorunun mutlak anlamda: anlamsız veya karar-verilemez olduğu demek değildir Bir başka deyişle burada Gödel sorunun karar verilemez oluşunun eldeki sisteme göre değişen bir şey olduğuna dikkat çekerek Platonculuğunu konuşturur ve süreklilik hipotezinin mevcut hipotezlerle karar verilemez oluşunun sadece eldeki mevcut aksiyomların yetersiz oluşunu gösterdığını belirtir. Dolayısıyla yapılması gereken şey eldeki anlamlı soruyu çözebilecek daha güçlü yeni aksiyom sistemlerini araştırmaktır Gödel böyle bir sistem bulunduğunda (süreklilik hipotezinin kabülünün topolojide pek makul olmayan sonuçlar doğurması gibi matematiksel nedenlerden dolayı) süreklilik hipotezinin çürütüleceğine inandığını söyler. Süreklilik hipotezinin bir “anlamı” olduğunu kabul edelim, yeni aksiyomatik sistemleri nasıl bulacağız ve daha önemlisi bulduğumuz sistemin aradiğımız “o” sistem olduğundan nasıl emin olacağız? Gödel (2004) şöyle der: Aksiyomların “doğruluğu hakkında olası bir karar diğer bir yolla elde edilebilir yani tümevarımsal olarak ‘başarı’sı üzerinde çalışarak elde edilebilir. Burada başarı, sonuçlardaki, özellikle de ‘doğrulanabilir’ sonuçlardaki verimliliktir” (s.228). Gödel’in bu iddia sına göre, elde edeceğimiz aksiyom sistemlerinden hangisi en iyi sonuçlar verirse, onu kullanacağız. Gödel bu şekilde kurulan bir teoremin, en azından, iyi-kurulmuş bir fiziksel kuramla aynı anlamı taşıdığına inanır. Gödel, aksiyomların matematik yanında fizikteki yararlılıklarına da bakılabileceğini söyler. Burada ilginç olan şey Gödel’in önerdiği bu yaklaşımın deneysel bir ölçütü matematiğin temellerine oturtmasıdır. Gödel gibi bir Platoncunun böyle bir deneysel yöntem önermesini nasıl anlamalı? Daha önce değindiğimiz gibi Platoncular matematiğin fiziksel dünyadan matematikçiden zamandan mekandan bağımsız bir gerçekler dizgesı olduğuna inanırlar. Aynı yazıda Gödel (2004) Platonculuğunu ünlü bir pasajında şöyle ifade eder. Yine de duyu tecrübelerimizden uzaklıklarına rağmen aksiyomların kendilerini bize doğru gibi kabul ettirmeleri olgusunda görüldüğü üzere, küme kuramının nesnelerinin bir algısına benzeyen bir şeye de sahibiz. Bu tür bir algıya yani matematiksel sezgiye duyu algısından daha az güvenmemiz için bir neden göremiyorum. Fiziksel kuramlar oluşturmamızı sağlayan duyu algıları, gelecekteki duyu algılarının bu kuramlarla uyumlu olmasını beklememize neden olur, dahası şu an için kararsız olan bir sorunun bir anlamı olduğuna ve gelecekte karar verilebileceğine inanmamızı sağlar. Matematikteki küme-kuramsal paradokslar, fizikteki duyu yanılgılarından daha çok sıkıntılı değildirler. Cantor’un süreklilik hipotezi türü problemlerin bir çözümüne yol açacak, yeni matematiksel sezgilerin tamamen mümkün olduğu daha önce belirtilmiştir” (s.236). Özetle, Gödel’e göre, aksiyomatik sistem “olası” doğruluk sunar, fakat aksiyomların doğruluğu kendisini bize “dayatır”; fizikteki duyu algıları kadar güvenilir olan bu matematiksel sezgiyi inkar etmemizin sağlam bir dayanağı yoktur. Gödel’in işaretlediği matematiksel ve fiziksel üretkenliklerine göre aksiyomları seçme yöntemi, hiç kuşku yok ki, matematiğin mutlak doğru oluşuna gölge düşüren bir şeydir. Gödel gibi bir Platoncunun bunu savunmasını şöyle anlayabiliriz: Gödel’in derdi matematiğin mutlaklığına meydan okumak değildir; fakat matematiğin mutlak olması demek matematikçilerin bu mutlak doğruları elde edebileceği veya hatasız oldukları anlamına gelmez. Gödel, bildiğimiz formel aksiyomatik sistemlerin sınırlarına işaret ederek, bizim dışımızdaki nesnel varlık ve anlamları sezgilerimizle görebileceğimizi ifade ediyordu. Aslında bu felsefi görüşler, Gödel’in eksiklik teoremlerinin-bir sonucuydu. Yani, buna göre, formel aksiyomatik sistem matematiksel doğruluğu garantileyen bir yöntemdir fakat, Gödel’in gösterdiği gibi, bu yöntemin bir diyeti vardır. Bu diyet sezgisel ve informel olarak elde edilebilen kimi matematiksel “hakikatlerin” formelleştirme sonucunda anlamını yitirmesidir. Husserl ve Gödel Öyle anlaşılıyor ki Gödel kendi görüşleri ile Husserl’in görüşleri arasındaki benzerliği fark ettikten sonra Husserl’in yazdıklarına yoğunlaşmıştır. Gödel, matematiğin nesnelerinin varlığının gerekçelendirilmesi ve realizm ile aksiyomlar konusundaki görüşlerini 1930’lu ve 1940’lı yıllarda olgunlaştırmış; 1959’dan sonra ise Husserl’in çalışmalarına eğilmiştir. Bilindiği üzere, Husserl matematikçi olarak eğitim almış ve bu alanda doktora yapmıştı. Doktora sonrası, kısa bir süre ünlü matematikçi Weirstrass’ın asistanlığını yapmış, Brentano’nun felsefe derslerine katılmış, daha sonra aritmetik ve mantık felsefesi üzerine araştırmalarını derinleştirmiştir. ilerleyen yıllarda fenomenolojisini geliştirmiştir. Gödel’in matematik nesnelerinin varlığı ile fiziğin nesnelerinin varlığı arasında yaptığı benzerlik, Husserl’in fenomenolojisi izlenerek de görülebilir. Daha önce değindiğimiz üzere, Gödel, matematiksel nesnelerinin var olduğunu “dayatan” matematiksel sezgiye güvenmemiz gerektiğini doğrudan söylemiyor; matematiksel sezgiye, fiziksel nesnelerin var olduğunu söyleyen duyu algısı kadar güvenmemiz gerektiğini söylüyor. Benzer şekilde, matematiksel nesnelerin özelliklerinin nesnel olduğunu doğrudan söylemiyor, onların fiziksel nesneler kadar nesnel olduğunu söylüyor. Bu, Gödel’i Husserl’e yakınlaştırıyor, çünkü Husserl de “idealist” devresinde hem fiziksel nesnelerin hem de matematiksel nesnelerin nesnel olduğunu iddia ediyor (Flesdal, 1995b). Husserl’e göre, matematiksel nesneleri tecrübe etmek ile fiziksel nesneleri tecrübe etmek arasında ilkesel bir fark yoktur (Føillesdal, 1995a). Dahası, fenomenolojiye göre, biz bir nesneyi bütün olarak algılamayız, onu kısmen algılarız. Örneğin, karşımızda duran bir masanın görmediğimiz bir tarafı vardır. Bundan dolayı, nesne hakkındaki bilgimiz eksiktir ve nesnenin kendisi bizim tecrübemizi aşkındır. Husserl’e göre, hem soyut hem de somut nesneler aşkındır. Matematiksel ve fiziksel nesnelerin varlığına ilişkin bir soruşturmada, her iki durumda da, esas olan şey, nesnelerin varlığı için kanıtlarımız ve teyit prosedürlerimizin olup olmadığıdır (Tieszen, 1992). Sayılar ile kümelerin ve geometrinin nesnelerinin kavramları, fiziğin kavramları gibi zamanla tortulaşmış ve yaşam dünyamıza katılmışlardır. Gödel’i Husserl’in fenomenolojisine yakınlaştıran şey, belki de, özellikle Kant’tan beri filozofları meşgul eden, realizm ve idealizm arasındaki ilişkidir. Husserl’in algı fenomenolojisi analizlerine göre, algısal nesneleri biz yaratmıyoruz veya inşa etmiyoruz, fakat biz bu nesneler hakkındaki bilgilerimizi inşa ediyoruz (Tieszen, 1992). Gödel de yukarıda değindiğimiz üzere, matematiksel bilginin bizim dışımızda olduğunu düşünüyor fakat aksiyomatik sistem inşa etmekle o bilgileri olası da olsa elde edebileceğimizi söylüyordu. Gödel ile Husserl arasındaki başka bir benzerlik, her ikisinin de kanıtın derece derece olduğunu ve dolayısıyla bizim nesneler hakkındaki tecrübelerimizin yanıltıcı olabileceğini düşünmeleridir (Tieszen, 1992). Buna göre, matematikçinin elde ettiği matematiksel bilgi pekM yanılabilirdir. Sonsuz kümelerin nesneleri ile aritmetiğin basit nesneleri hakkındaki kanıtlarımız arasında bir derece farkı olabilir. “Felsefe Işığında Matematiğin Temellerindeki Modern Gelişme” başlıklı yazısında Gödel (*1961/?) (4), Husserl’in adını açıkça anar ve fenomenoloji den övgüyle sözeder. Yazı, felsefi kavramlar aracılığıyla, matematiğin temellerine dair araştırmaları, muhtemel bir Weltanschauungen veya felsefi dünya görüşü içerisine oturtmayı amaçlar. Gödel (* 1961/?), dünya görüşlerini metafizikten veya dinden uzaklıklarına göre bir cetvel üzerine yerleştirir. En solda, yani metafizikten en uzakta, şüphecilik, materyalizm ve pozitivizm yer alır; en sağda ise, sipirütüalizm, idealizm ve teoloji yer alır. Materyalizme göre her şey anlamsızdır, ölüm mutlak yok oluştur; teolojiye göre ise her şeyin bir anlamı vardır. Gödel, felsefenin Rönesans’dan beri sağdan sola doğru kaydığını belirtir. Gödel yazısını, matematiğin a priori doğası gereği sağda olması ile felsefede sola doğru gerçekleşen hareketlenme arasında doğan gerilim üzerine odaklar.  Gödel’e göre, matematik uzun bir süre felsefede gerçekleşen hareketlenmeden etkilenmedi, ta ki 20. yüzyılın başında matematikte ortaya çıkan çelişkilere kadar. Gödel’e göre, bu çelişki ve paradokslar şüpheci ve ampirisistler tarafından matematikte sol bir başkaldırı için abartılmıştır. Gödel’e göre, bu paradokslar matematiğin merkezinde değil matematiğin felsefeye doğru kenarlarında ortaya çıkmıştır ve zaten paradokslar daha sonra çözülmüştür. Buna rağmen, matematikçiler bu sol dalgaya kendilerini öyle bir kaptırdılar ki matematiğin, eskiden beri anlaşıldığı gibi, bir doğruluk sistemi olduğunu inkar ettiler. Bu inkar, matematiği deneysel bir bilime dönüştürdü. Buna göre, elde ettiğimiz bir teoremi ispat ettiğimiz halde, teoremi çürüten bir karşı-örnek bulma ihtimalimiz vardı, çünkü elimizdeki aksiyomlar tutarsız olabilirdi. Gödel’e göre, “bu nihilist sonuçlara” (s.379) karşı matematik cephesinden Hilbert’in öncülüğünde bir akım ile, hem zamanın felsefi ruhuna hem de geleneksel matematiğin ruhuna uygun bir arayış başladı. Hilbert, zamanın sol ruhuna uygun olarak, matematiğin hipotetik bir doğruluk değerini kabul etti; yani o da sezgi, metafizik ve hakikati inkar etti. Öte yandan, Hilbert, matematikçilerin geleneksel sağ ruhuna uygun olarak, ispatın tutarlı bir temele dayandırılabileceğini ve her sorunun bir cevabı olduğunu iddia etti. Fakat Gödel’e göre, matematiğin sağa yakın ruhunun sola yakın bir felsefe ile kurtarılamayacağı ortaya çıkmıştır; doğru tutum, hakikatin ortada bir yerde olduğunu veya sağ ile solun bir birleşiminden oluştuğunu kabul etmektir. Hilbert bunu yapmaya çalıştı ama başarısız oldu. Gödel, fenomenolojiyi böyle bir “orta yol” olarak ortaya atar. Gödel’e göre, yapılması gereken şey, matematiksel kavram, nesne ve aksiyomların, tanımlarını vermeksizin, anlamlarını netleştirmektir. Gödel’e göre, fenomenolojiyi kullanarak, matematiksel kavramları kullandığımız zamanlardaki eylemlerimize dikkatimizi çevirerek, bu kavramların anlamlarını netleştirmeliyiz. Fenomenoloji sayesinde şimdiye kadar bizim için meçhul olan temel kavramları kavrayabiliriz. Gödel, fenomenoloji hakkında görüşlerini yazdıktan sonra, Husserl ile Kant arasındaki ilişkiye değinir. Gödel’e göre Kant, iki asır boyunca hemen hemen bütün felsefi yaklaşımlar üzerinde etkisini ciddi anlamda hissettirmişti, fakat Kant’ın ruhuna en sadık yaklaşım fenomenolojidir. Kant, hem idealizmin metafiziğe dönüşmesine hem de metafiziğin pozitivistçe tamamen inkar edilmesine mesafeliydi. Gödel yazısını şu ifadelerle bitirir: “Eğer yanlış anlaşılmış bir Kant felsefede (ve dolaylı yoldan bilimde) onca ilginç şeye yol açtıysa, kim bilir doğru anlaşılmış bir Kant’tan [daha] ne kadar çok şey bekleyebiliriz?” (s.387). Wittgenstein: Gödel’i “es geçen”filozof Michael Dummett (1959), Wittgenstein’ın elimizdeki notlarında yer alan Gödel hakkındaki yorumları için “düşük kaliteli” ve “kesin yanlışlar içermektedir” (s.491) demektedir. Georg Kreisel ise, Wittgenstein’ın Gödel hakkındaki yorumları için “parlak bir zekânın şaşırtıcı derecede önemsiz bir ürünü” der (aktaran Wrigley, 1977, s.50). Her ne kadar Wittgenstein’ın Gödel’i yanlış anladığı iddia edilse de, Shanker’e (1988) göre, Wittgenstein’ın yorumları yanlış anlamadan veya bilmeden kaynaklanmamaktadır. Wittgenstein’ın Gödel’in sonuçlarını inkârını anlamak için, onun felsefe ve matematik hakkındaki görüşlerine bakmamız gerekiyor. Wittgenstein için, felsefe ve matematiğin birbiri ne sunacağı hiçbir şey yoktur; hiç-bir matematiksel sonuç, felsefi bir şey sunmaz (Dummett, 1959). Wittgenstein’a göre, felsefi bir problem felsefi yollarla çözülebilir (Shanker, 1988). Böylece, Wittgenstein için, Gödel’in teoremi matematik olduğu için matematiğin temellerine dair bir şey sunamaz. Wittgenstein için, Gödel’in sonucunun hiçbir epistemolojik değeri yoktur ve Platoncu yorumlarının hiçbir anlamı yoktur. Zaten, Wittgenstein için matematikte anlam diye bir şey yoktur, her şey bir algoritmadır (Wrigley, 1977). Matematik bir calculustur, yani hesaptır. Kimi kuralların birleşiminden ibaret olduğu için matematik içinde epistemolojik veya ontolojik sorunlar olamaz. Matematik aslında hiçbir şey hakkında değildir. Matematik tamamen hesap olduğu için. metamatematik diye bir şey olamaz. Metamatematık denen şey başka bir çeşit matematiktir ve bundan dolayı da metamatematik matematiğin temelleri hakkında hiçbir şey sunmaz (Shanker 1988) Boylece Wittgenstein hem Hilbert hem de Gödel’in iddialarını reddetmiştir. Gödel öğrenci iken toplantılanna katıldığı Vşdana Çevreiş”nden Wittgenstein’ı sık sık duymaktaydı. Gödel hem Viyana Çevresi’nın metafiziği dışlamasına, hem de, benzer şekilde, Wittgenstein’ın matematikten anlam ve hakikati dışlamasına sıcak bakmıyordu. Öte yandan her ne kadar Gödel’in sonuçlarına tekrar tekrar dönse de Wittgenstein, “amacım Gödel’in ispatı hakkında konuşmak değil onu atlamaktır [es geçmektir] demiştir (aktaran Shanker, 1988: s.155).. Yine de, Shanker’in dediği gibi, Wittgenstein ile Gödel arasında bir dostluk beklenirdi, nihayetinde ikisi de ezoterik sonuçlar ortaya çıkarmıştır; Wittgenstein’ın kendisine “potansiyel bir müttefiği” niçin “harcadığı” belirsizdir. Wittgenstein, Hilbert’i eleştirse de, aslında Hilbert’in muazzam programının metafizik karşısındakı tutumuyla aynı olmasına şaşmamalı. DİPNOTLAR 1) Gödel’in hayatı hakkındaki bilgileri hazırlarken esas olarak faydalandığım kaynaklar John W Dawson’ın (1988) hazırladığı titiz biyografi ile Salamon Feferman ın (1986) Gödel ve çalışmalarını tanıtan yazısıdır 2) Bilindiği üzere, Gödel, iletişim yeteneğimize güvensizlik duyuyordu. Gödel’e göre, doğal dil bulanıktı ve aslında bir programının ancak bir karikatürü olan “oyun formalisti” gibi davranmıştır; Wittgenstein için de matematik kağıt üzerinde anlamsız sembollerle oynanan bir oyundan başka bir şey değildir. Bundan dolayı, matematikteki ontolojik ve epistemolojik sorunları inkar ederek Gödel’i ıskalayan Wittgenstein’ın matematik felsefesi karşısındaki tutumunun, birbirimizi genelde anlamıyorduk Gödel, matematiğin netliğini ve titizliğini kullanarak, kendi eksiklik teoremiyle felsefi bir şeyler söylemişti. Gödel, “nesnel bir ispat veya matematiksel ispat diye bir şey yoktur” türünden bir yargı ifade etmek istemiyordu. Fakat Gödel’in teoremi kimi entelektüel çevreler tarafindan söylemeye çalıştığı şeyin dışındaki birtakım şekillerde yorumlandı; Goldstein’na (2005) -muhtemelen kimi postmodernistleri düşünerek biraz da anakronik olarak söylediği gibi, böyle bir durumda, “Gödel iletişime güvensizlik duymayıp da ne yapsın?” 3) (…) 4) Söz konusu yazı, verilmemiş bir konuşma için 1961 veya daha sonraki bir yılda stenagrufi (kısaltılmış el yazısı) ile yazılmıştır; onun için yazının kaynağı Gödel’in toplu yazılarında “ 1961/?” şeklinde verilmiştir, “*” işareti yayınlanmadığını, soru işareti ise tam tarihinin bilinmediğini ifade etmektedir. KAYNAKLAR 1)J. W. Duwson (1988), Kurt Gödel in shurper focus. S. G. Shunker (Ed.) Gödel’s theorem in focus. Craom Helm. 1-16. 2) M. Durnniett (1959), Wittgenstein’s philosophy of mathematics. The Philosophical Review, Vol. 68, Na. 3. (Jul.), 324-348. 3)0. Fellesdal (1995o), Gödel and Husserl. J. Hintikka (Ed.), From Dedekind ta Gödel: Essays on the development of the foundations of mathematics, 1995, 42 7-446. 4) D. Føllesdal (1995b), lntraductory note ta *1961/? 5. Feferman v.d. ( Kurt Gödel: Collected warks, Volume 111, 1995, 364-373. 5) R. Goldstein (2005), Gödelund the nature of mathematical truth: A talk with Rebecca Galdstein. ( 10 Mart 2006) http/www.edge.org/3rdculture/goldstein05/ goldsteia 6) K. Gödel [*] 961/?), The modern development of the fundations of mathematics in the light of mathematics. S. feferman v.d. (Ed.), Kurt Gödel: Collected works, Valume III, 1995, 375-387. 7) K. Gödel (1930), Lecture on completeness of functional calculus. 5. Feferman v.d. (Ed.), Kurt Gödel: Collected works, Valume III, 1995, 17-29. 8) K. Gödel (1931), Discussion on providing a faundation for mathematics. 5. S. Feferman v.d. (Ed.), Kurt Gödel: Collected works, Volume I, 1986,s. 201-203. 9) K. Gödel (1944), Russell’s mathematical logic. S. Feferman v.d. (Ed.), Kurt Gödel: Colleted works, Volume II, 1990, 119-141. 10) K. Gödel (2004), Cantor’un süreklilik problemi nedir?  Bekir S. Gür  Matematik felsefesi, Kadim Yayınları, 2. Baskı, 217-238. 11) D. Hilbert (2004), Sonsuz üzerine [1925] Bekir S. Gür (Ed.); Matematik felsefesi, Kadim Yayınları, 2. baskı, 117-142. 12) S.G. Shanker (1988), Wittgenstein’s remarks on the significance af Gödel’s theorem. S.G. Shanker ( Güdel’s theorem in focus. Croom Helm. 155-256. 13) R. Tieszen (1992), Kurt Gödel and phenomenology, Philosaphy of Science, 59,2, 176-194. 14) M. Wrigley (1977), Wittgenstein’s philosophy of mathematics. The Philosophical Quarteily, Vol. 27, No. 106. (Jan.), 50-59. Bilim ve Gelecek- Aylık Bilim, Kültür, Politika Dergisi –Nisan 2006-Sayı 26

Kurt Gödel